計算機の学習メモ

この想像しがたい状況が成立する過程を、以下に詳述する。

すべてがFになる-「７だけが孤独」の問題を解く

森博嗣さんの「すべてがFになる」の冒頭で、ある問題が提起される。
「1から10までの数字を二組に分けて、それぞれグループの数字を全部掛け合わせる。このとき、二つの積が等しくなることはありますか？」
「ありません。片方には７があるので、その積は７の倍数になるけれど、もう片方には７がないので７の倍数にはならない。つまり二つのグループの積が等しくなることはありません」

では、７を除外した時、二つのグループの積が等しくなることはあるのでしょうか。

①まず、等しくなる時の数について考察します。
　二つのグループの積が等しいならば、そのグループ同士の積は等しくなる時の二乗となります。
　１〜１０(７を除く)の積は
　1\times2\times3\times4\times5\times6\times8\times9\times10=518,400
　なので、平方根をとって等しくなる時の数は
　\sqrt{518400}=720
　となる。
　つまり、積が720になるように二つのグループを分ければよい。

②720を素因数分解すると
　720=5\times3^2\times2^4
　となる。
　これより、個々の数値が10以下である組み合わせを求めればよい。
　ここで、「5」という数が"孤独"なので、「5」を中心に考えてみよう。
　5・3・2の組み合わせで、10以下の数は「5,10(3\times2)」である。
　まず、10から考える。
　(「1」はあってもなくても積に関係がないため、表記を割愛する)

　3^2\times2^3\times10(5\times2)
　=3^2\times2^3
　=3\times6(3\times2)\times2^2
　=2\times2^2\times3^2

　次に、「５」について考えると
　
　=3^2\times2^4\times5
　=2\times2^3\times3^2
　=3\times6(3\times2)\times2^3
　=2\times3\times2^2\times6(3\times2)

　となる。

　よって、1〜10までの7を除く数値を二つに分けた時、積が等しくなる組み合わせは6通りあり、
　[2,4,9,10],[2,5,8,9],[3,4,6,10],[3,5,6,8],[2,3,4,5,6],[8,9,10]
　である。
　(総数は{}_9 C _1+{}_9 C _2+{}_9 C _3+{}_9 C _4)

最後に、会議中のノートに書いた解法なので、間違っていたら悪しからず。。。